[BOJ] 16235 나무 재테크 (C/C++)

16235번: 나무 재테크

문제

부동산 투자로 억대의 돈을 번 상도는 최근 N×N 크기의 땅을 구매했다. 상도는 손쉬운 땅 관리를 위해 땅을 1×1 크기의 칸으로 나누어 놓았다. 각각의 칸은 (r, c)로 나타내며, r은 가장 위에서부터 떨어진 칸의 개수, c는 가장 왼쪽으로부터 떨어진 칸의 개수이다. r과 c는 1부터 시작한다.

상도는 전자통신공학과 출신답게 땅의 양분을 조사하는 로봇 S2D2를 만들었다. S2D2는 1×1 크기의 칸에 들어있는 양분을 조사해 상도에게 전송하고, 모든 칸에 대해서 조사를 한다. 가장 처음에 양분은 모든 칸에 5만큼 들어있다.

매일 매일 넓은 땅을 보면서 뿌듯한 하루를 보내고 있던 어느 날 이런 생각이 들었다.

 

나무 재테크를 하자!

 

나무 재테크란 작은 묘목을 구매해 어느정도 키운 후 팔아서 수익을 얻는 재테크이다. 상도는 나무 재테크로 더 큰 돈을 벌기 위해 M개의 나무를 구매해 땅에 심었다. 같은 1×1 크기의 칸에 여러 개의 나무가 심어져 있을 수도 있다.

이 나무는 사계절을 보내며, 아래와 같은 과정을 반복한다.

봄에는 나무가 자신의 나이만큼 양분을 먹고, 나이가 1 증가한다. 각각의 나무는 나무가 있는 1×1 크기의 칸에 있는 양분만 먹을 수 있다. 하나의 칸에 여러 개의 나무가 있다면, 나이가 어린 나무부터 양분을 먹는다. 만약, 땅에 양분이 부족해 자신의 나이만큼 양분을 먹을 수 없는 나무는 양분을 먹지 못하고 즉시 죽는다.

여름에는 봄에 죽은 나무가 양분으로 변하게 된다. 각각의 죽은 나무마다 나이를 2로 나눈 값이 나무가 있던 칸에 양분으로 추가된다. 소수점 아래는 버린다.

가을에는 나무가 번식한다. 번식하는 나무는 나이가 5의 배수이어야 하며, 인접한 8개의 칸에 나이가 1인 나무가 생긴다. 어떤 칸 (r, c)와 인접한 칸은 (r-1, c-1), (r-1, c), (r-1, c+1), (r, c-1), (r, c+1), (r+1, c-1), (r+1, c), (r+1, c+1) 이다. 상도의 땅을 벗어나는 칸에는 나무가 생기지 않는다.

겨울에는 S2D2가 땅을 돌아다니면서 땅에 양분을 추가한다. 각 칸에 추가되는 양분의 양은 A[r][c]이고, 입력으로 주어진다.

K년이 지난 후 상도의 땅에 살아있는 나무의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N, M, K가 주어진다.

둘째 줄부터 N개의 줄에 A배열의 값이 주어진다. r번째 줄의 c번째 값은 A[r][c]이다.

다음 M개의 줄에는 상도가 심은 나무의 정보를 나타내는 세 정수 x, y, z가 주어진다. 처음 두 개의 정수는 나무의 위치 (x, y)를 의미하고, 마지막 정수는 그 나무의 나이를 의미한다.

출력

첫째 줄에 K년이 지난 후 살아남은 나무의 수를 출력한다.

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시간 제약이 아주 빡빡한 문제였다. 시간을 거의 다 채우고 통과에 성공했다.

 

처음에 문제를 풀었을 때에는 모든 나무의 좌표를 저장하는 벡터를 하나 두고 거기에 나무의 나이와 좌표를 저장했다. 그리고 해당 벡터를 원하는 순서대로 정렬을 해서 문제를 풀었다. 매번 \( N^2 \)만큼 배열을 순회하지 않아도 되기 때문에 각 좌표마다 벡터를 두는 것보다 더 효율적일 것이라고 생각했다. 하지만 결과는 시간 초과였다.

 

그래서 각 좌표마다 벡터를 두는 것으로 수정해봤다. 그랬더니 200ms대로 통과했다. 아마 그 이유는 sort를 호출하는 벡터의 크기가 이전보다 감소했기 때문인 것 같다. 만약 나무가 균등하게 분포한다면 벡터 하나의 크기는  \( 1/N^2 \) 배가 되었을 것이다. 따라서 정렬의 시간 복잡도도 크게 줄었을 것으로 예상된다.

 

C++ STL의 sort는 퀵정렬로 알고 있다. 해당 알고리즘의 평균적인 시간 복잡도가 \( O(NlogN) \)이므로 만약 최악의 나무 개수를 K, 밭의 최대 크기를 M이라고 했을 때에 시간 복잡도는 다음과 같이 감소할 것으로 기대된다. 물론 최악의 경우 한 좌표에 모든 나무가 몰려있으면 시간이 더 오래 걸릴 수도 있겠지만 나무가 균등하게 분포한다고 가정했다.

$$ O(N * \frac {K}{N} log(\frac {K}{N})) = O(K(logK - logN)) $$

 

식이 틀렸을 수도 있지만 통과하는 것을 보면 시간이 줄긴 줄었다. 이런 식으로 정렬이 필요한 데이터의 사이즈를 쪼개서 시간을 단축하는 방법을 처음 경험했다. 

 

최적화 이외는 직관적인 구현 문제라 딱히 어려움을 느끼지 못했다.

 

 

후기)

이전에는 수식이 적용이 안 됐는데 갑자기 이제 된다. 앞으로 계산할 일이 있으면 예쁘게 써봐야겠다.